【11】長さ120cmの針金を折り曲げて長方形をつくる。縦の長さ $x$ cm、面積を $y$ cm² とするとき、以下の問いに答えなさい。

(1) 横の長さを $z$ cm とするとき、 $z$ と $x$ の関係を等式で表しなさい。

答え

(2) $z > 0, x > 0$ であることに注目して、 $x$ の定義域を不等式で表しなさい。

答え

(3) $y$ を $x$ の式で表しなさい。

答え

(4) $y$ の最大値を求めなさい。

答え

【12】 $0^\circ < A < 90^\circ$ , $\sin A = \frac{5}{13}$ のとき、 $\cos A$ , $\tan A$ の値を求めなさい。

答え $\cos A =$

$\tan A =$

13 下の三角形 ABC について、以下の値を答えなさい。

(1) $\cos B$



Triangle ABC with side lengths AB = 5, BC = 3, and AC = 7. Angle B is shaded.

答え

(2) $\angle B$

答え

(3) $\sin B$

答え

(4) この三角形 ABC の面積 $S$

答え

(5) $\sin A$

答え



(4) 得点の標準偏差を求めなさい。ただし、 $\sqrt{10} = 3.1$ として計算すること。

答え

15 次の文に続く言葉として、適当なものを[選択肢]の中から選んで、記号で答えなさい。

(1) $x = 6$ は、 $x^2 = 36$ であるための…

答え

(2) $x = 6$ は、 $2x = 12$ であるための…

答え

(3) $x^2 = 4$ は、 $x = 2$ であるための…

答え

(4) $x < 4$ は、 $x = 2$ であるための…

答え

(5) $3x = 9$ は、 $x = 3$ であるための…

答え

(6) $-1 < x < 2$ は、 $0 < x < 3$ であるための…

答え

(7) $-2 < x < 1$ は、 $-3 < x < 2$ であるための…

答え

[選択肢]

16 $n$ を整数とし、命題 $A$ を「 $n$ が 2 の倍数ならば $n$ は 8 の倍数」とするとき、以下の問いに答えなさい。

(1) 命題 $A$ の逆を答えなさい。

答え

(2) 命題 $A$ の逆が真であるか偽であるかを答えなさい。

答え

(3) 命題 $A$ の裏 ( $p, q$ をそれぞれ否定したもの) を答えなさい。

答え

(4) 命題 $A$ の裏が真であるか偽であるかを答えなさい。

答え

(5) 命題 $A$ の対偶を答えなさい。

答え

(6) 命題 $A$ の対偶が真であるか偽であるかを答えなさい。

答え

17 次の文章は、自然数 $n$ についての命題：「 $n^2$ が偶数 $\Rightarrow n$ は偶数」の証明である。この文章の ( ) に当てはまる数式・用語を答えなさい。

もとの命題：「 $n^2$ が偶数 $\Rightarrow n$ は偶数」の対偶：「 $n$ が ( ① ) $\Rightarrow n^2$ は ( ② )」が ( ③ ) であることを証明する。

仮定(①)の下で $n$ は自然数 $m$ を用いて $n = ( ④ )$ と表すことができる。

両辺を 2 乗すると $n^2 = (2m - 1)^2 = 4m^2 - 4m + ( ⑤ )$ となるがこれは $n^2$ が奇数であることを意味する。

したがって、( ⑥ ) が真であることが証明されたので、もとの命題「 $n^2$ が偶数 $\Rightarrow n$ は偶数」も真である。

答え① _____ ② _____ ③ _____

④ _____ ⑤ _____ ⑥ _____

18 次の文章は、命題：「 $\sqrt{2}$ は無理数である」の背理法による証明である。この文章の ( ) に当てはまる数式・用語を答えなさい。

$\sqrt{2}$ は無理数ではない、つまり $\sqrt{2}$ が ( ① ) であると ( ② ) する。

このとき $\sqrt{2}$ は、1 以外の正の ( ③ ) をもたない(つまりこれ以上約分できない) 2 つの自然数 $A, B$ を用いて $\sqrt{2} = \frac{A}{B}$ と表すことができる。

この式の両辺を $B$ 倍すると、 $\sqrt{2}B = A$

さらに両辺を 2 乗すると、( ④ ) $B^2 = A^2$

この左辺は偶数であるから、右辺の $A^2$ も当然偶数である。このとき前問で得た結果により、 $A$ は偶数である。

よって、自然数 $C$ を用いて $A = ( ⑤ )$ と表すことができる。⑤を④のときの式に代入すると、 $2B^2 = 4C^2$

両辺を 2 で割ると、 $B^2 = ( ⑥ ) C^2$

この式は、 $B^2$ が偶数、つまり $B$ が ( ⑦ ) であることを意味する。

以上から、 $A$ と $B$ がどちらとも ( ⑧ ) であることにになり、「 $A$ と $B$ が 1 以外の正の公約数をもたない」という仮定と ( ⑨ ) する。

したがって、 $\sqrt{2}$ が ( ⑩ ) であることが証明された。