数列 演習問題まとめ（前半）

1. 次のような等差・等比数列の一般項を求めよ。また、その第 10 項を求めよ。

(1) 初項 7, 公差 3 　　　　　　　　　　　　　　(2) 初項 4, 公比 6





2. 次の問いに答えよ。

(1) 公差が 4, 第 8 項が 30 である等差数列 $\{a_n\}$ の初項と一般項を求めよ。





(2) 初項が 3, 第 6 項が 96 である等比数列 $\{a_n\}$ の公比と一般項を求めよ。





(3) 初項が 3, 公比が 2 である等比数列 $\{a_n\}$ において, 第 $l$ 項が 192 であるとき, $l$ の値を求めよ。





3. 次の数列の初項と等差・等比を求めよ。また、一般項も求めよ。

(1) 第 16 項が $-50$ , 第 21 項が $-80$ である。【等差数列】





(2) 第5項が $-48$ ,第 $7$ 項が　$-192$である。　【等比数列】





4. 次の a の値を求めよ。

(1) 数列 $4a, 6, a^2$ [等差数列] 　　　　　　　　　　　　　　(2) 数列 $42, a, \frac{14}{3}$ [等比数列]





5. 次のような等差・等比数列の和を求めよ。

(1) 初項 2, 公差 3, 項数 10　　　　　　　　　　　　　　　　　(2) 初項１, 公比２, 末項 64





6. 等差数列 $100, 93, 86, \dots$ について、次の問いに答えよ。

(1) この数列は第何項が初めて負の数となるか。





(2) 初項から第何項なでの和が最大であるか。また、その和を求めよ。





7. 次の数列の和を、∑を用いて表せ。

(1) 2+5+10+…+(k²+1) 　　　　　　　(2) 6+10+14+…+70 　　[等差数列]　　　





(3) 6+12+24+…+384　　[等比数列]





8. 次の数列の和を、∑を用いないで、各項を書き並べて表せ。また、そこから和を求めよ。（ (3) 追加しました。）

(1) $\sum_{k=1}^{20} 6$　　　　　　　　　　





(2) $\sum_{k=1}^{n}(\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+2})$





(3)* $\sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)}$ 　　(ヒント：恒等式$\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$を使う）





9. 次の一般項から初項と等差 or 等比をもとめよ。また、$\sum_{k=1}^{n}a_k$を求めよ。

(1) $a_n=4n-5$





(2) $a_n=6(\frac{1}{2})^{n-1}$





10. 次の和を求めよ。

(1) $\sum_{k=1}^{n-1} k^2$　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(2) $\sum_{k=1}^{10}(2k^2+4k-3)$







(3) $\sum_{k=1}^5 \left(-\frac{1}{3}\right)^{k-1}$　　　　　　　　　　　　　　　　　 (4) $\sum_{k=1}^{20}6$







(5) $\sum_{k=1}^{10}(3k)^2$　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(6) $(\sum_{k=1}^{10}3k)^2$









11. 次の数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ。ただし、数列$\{b_n\}$は数列$\{a_n\}$の階差数列である。

(1) $\{a_n\}=2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, ⋯$　 ($\{b_n\}$:等差数列)











(2) $a_1=4, b_n=3\times2^{n-1}$











(3) 1, 5, 13, 25, 41, 61, 85, ⋯ (ヒント：階差数列にも階差数列がある)











12. 初項から第ｎ項までの和$S_n$が、$S_n=n^2-n$で表される数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ。







13. 次の数列の和を求めよ。（ヒント：階差数列にもう一度階差数列を作ってみる。 ）

(1) $\sum_{k=1}^{n}k2^{k-1}$







14. 正の奇数の列を、次のような群に分ける。ただし、第 n 群には n 個の数が入るものとする。

　　　　　　　　　　　　　　 1 | 3, 5 | 7, 9, 11 | 13, 15, 17, 19 | 21,...

　　　　　　　　　　　　　 第1群 第2群　 第3群　 第4群　 …　

(1) 第 n 群の最初の数を n の式で表せ。







(2) 第 15 群に入るすべての数の和$S$を求めよ。











【応用問題】（時間が余ったら）

1. 一般項が $a_n = 3 - 4n$ で表される数列 $\{a_n\}$ がある。数列 $\{a_n\}$ の項を、初項から 2 つおきにとってできる数列 $a_1, a_4, a_7, \dots$ は等差数列であることを示せ。また、初項と公差を求めよ。









2. 数列 $\{a_n\}, \{b_n\}$ が等差数列ならば、次の数列も等差数列であることを証明せよ。

(1) $\{a_{5n}\}$





(2) $\{2a_n - 3b_n\}$





(3) $\{a_{2n} + b_{3n}\}$







3. 数列 8, a, b が等差数列。数列 a, b, 36 が等比数列であるとき、a, b の値を求めよ。







4. 以下の問いに答えよ。

(1) 公比が－２、初項から第１０項までの和が―1023である等比数列の初項を求めよ。







(2) 第 2 項が６、初項から第 3 項までの和が21である等比数列の初項と公比を求めよ。