第 2 章 集合と論理

制限時間: 50 分 満点: 100 点

問 1【穴埋め】(6 点) ★★★

全体集合を $U = \{1, 2, \dots, 10\}$ とする。

$A = \{2, 4, 6, 8, 10\}$ の補集合を求めよ。

$A^c = \underline{\hspace{2cm}}$

問 2【穴埋め】(6 点) ★★★

集合

$A = \{1, 2, 3, 4, 5\}, B = \{3, 4, 5, 6, 7\}$

について、

(1)

$A \cap B = \underline{\hspace{2cm}}$

(2)

$A \cup B = \underline{\hspace{2cm}}$

問 3【穴埋め】(8 点) ★★★

次の空欄を埋めよ。

(1)

「 $P$ ならば $Q$ 」の対偶は

—

である。

(2)

命題とその対偶の真偽は

—

である。

問 4【記述】(10 点) ★★★

命題

「 $x$ が 6 の倍数ならば、 $x$ は 3 の倍数である。」

について、

• (1) 逆
• (2) 裏
• (3) 対偶
• を書け。
• 
  

問 5【記述】(10 点)★★★

命題

「 $x > 5$ ならば $x > 2$ 」

について、

必要条件・十分条件を答えよ。

問 6【記述】(12 点)★★★

集合

$A = \{x \mid x \text{は偶数}\}$

$B = \{x \mid x \text{は} 4 \text{の倍数}\}$

について、

• (1)

$B \subset A$

であることを説明せよ。

• (2)

$A \subset B$

が成り立たない理由を書け。

問 7【記述】(12 点)★★☆

次の命題の真偽を判定し、理由を書け。

「整数 $n$ が奇数ならば $n^2$ は奇数である。」

問 8【記述】(12 点)★★☆

背理法を用いて

「 $\sqrt{2}$ は無理数である。」

ことを説明する際、 最初に仮定する内容を書き、その後どのような矛盾が生じるかを簡潔に述べよ。

問 9【総合問題】(12 点)★★☆

全体集合を実数全体とする。

$A = \{x \mid x \geq 1\}$

$B = \{x \mid x < 4\}$

について、

(1)

$A \cap B$

を求めよ。

(2)

$A \cup B$

を求めよ。

(3)

$A^c$

を求めよ。

問 10【総合問題】(12 点)★★★

次の命題を考える。

「 $x^2 = 16$ ならば $x = 4$ である。」

(1)

この命題は真か偽か。

(2)

理由を書け。

(3)

正しい命題になるように修正せよ。