2.1 (1) 次の定積分を求めよ。

(1) $\int_0^4 \frac{x^2+1}{x+1} dx$ (07 青山学院大・理工/一部変更)

(2) $\frac{1}{x^2(x+3)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x^2} + \frac{C}{x+3}$ が任意の $x$ について成り立つように実数 $A, B, C$ を定め、次の積分を計算せよ。 $\int_1^3 \frac{dx}{x^2(x+3)}$ (05 摂南大・工)

(3) 定積分 $\int_0^2 \frac{dx}{x^2+4}$ を求めよ。 (07 福岡教大-後)

2.2 次の定積分を求めよ。

(1) $\int_0^1 x\sqrt{1-x} dx$ (07 広島市大)

(2) $\int_0^1 \frac{x}{\sqrt{2x+1}} dx$ (05 広島市大-後)

(3) $\int_0^{\sqrt{3}} \sqrt{4-x^2} dx$ (06 関大・工)

2.3 次の定積分を求めよ。

(1) $\int_0^1 3^{1-2x} dx$ (07 電通大・夜間主)

(2) $\int_0^1 \log(x+1) dx$ (07 神奈川大・理, 工)

(3) $\int_e^{e^2} \frac{\log(\log x)}{x \log x} dx$ (06 慶大・理工)

2.4 次の不定積分を求めよ。

(1) $\int x \sin 2x dx$ (07 大阪工大)

(2) $\int x \sin^2 x dx$ (05 日本女大・理/一部変更)

(3) $\int x \sin(x^2) dx$ (07 津田塾大・学芸)

2.5 次の定積分を求めよ。

(1) $\int_0^{\frac{\pi}{2}} x |\sin^2 x - \frac{1}{2}| dx$ (05 横浜国大・工-後)

(2) $\int_4^{16} \sqrt{x} e^{-\sqrt{x}} dx$ (06 早大・教)

(3) $\int_{-1}^2 \frac{3}{1-x+x^2} dx$ (05 早大・人科/一部変更)

(4) $\int_0^1 \frac{1}{2+3e^x+e^{2x}} dx$ (02 東京理大・工)

(5) $\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{\sin^2 x + 3 \cos^2 x}$ (06 横浜国大・工)

(6) $\int_0^2 \frac{2x+1}{\sqrt{x^2+4}} dx$ (07 京大・理系)

2.6 $\tan \frac{x}{2} = t$ において定積分 $\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{\sin x}$ を求めよ。

(06 名古屋市大・芸術工)

2.7 (1) 定積分を計算すると、

$\int_0^{\pi} \cos^2 x \sin x dx = \square$ である。

(2) $t = \pi - x$ において置換したものと合わせて考える

ることにより、 $\int_0^{\pi} x \cos^2 x \sin x dx = \square$ である。

(02 東海大・理, 工, 電子情報)

2.8 自然数 $n$ に対して、次の問に答えよ。

(1) 定積分 $x_n = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^n \theta d\theta$ を考える。

$x_1 = \square, x_2 = \square$ であり、 $n \geq 2$ では

$x_{n-1} + x_{n+1} = \square$ の関係式を満たす。

(07 産業医大)

(2) 定積分 $I_n$ を $I_n = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \sin^n x dx$ で定める。 $n \geq 3$ のとき、 $I_n$ を $I_{n-2}$ と $n$ を用いて表せ。また、 $I_2, I_4$ の値を求めよ。 (05 大阪府大・工)

2.9 (1) 整数 $m, n$ に対して積分

$I_{m,n} = \int_0^{2\pi} \cos mx \cos nx dx$ を求めよ。

(2) 自然数 $n$ に対して積分

$I_n = \int_0^{2\pi} \left( \sum_{k=1}^n \sqrt{k} \cos kx \right)^2 dx$ を求めよ。

(06 北大・理系)

2.10 (1) 不定積分 $\int e^{-x} \sin x dx$ を求めよ。

(2) $n$ が自然数のとき、

$S_n = \int_{(n-1)\pi}^{n\pi} |e^{-x} \sin x| dx$ を求めよ。

(3) $S_{n+1} = r S_n$ を満たす定数 $r$ を求め、無限級数

$S_1 + S_2 + S_3 + \dots + S_n + \dots$ の和を求めよ。

(06 東京海洋大/一部改)

2.11 $a, b$ が実数の範囲を動くとき、定積分

$\int_{-\pi}^{\pi} (x - a \sin x - b \cos x)^2 dx$ の最小値を求めよ。また、そのときの $a, b$ の値を求めよ。

(07 信州大・理, 医)

2.12 $x > 0$ のとき、関数 $f(x) = \int_0^1 \left| \log \frac{t+1}{x} \right| dt$ の

最小値を求めよ。 (03 東京学芸大)

2.13 次の各問に答えよ。

(1) 置換積分法を用いて、不定積分 $\int \cos^3 x dx$ を求めよ。

(2) 次の等式を満たす関数 $f(x)$ を求めよ。

$f(x) = \cos^2 x + 3 \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(t) \cos(x+t) \cos x dt$

(06 宮城教大)

2.14 $f(x) = \int_0^x (x-t)^2 \sin t dt$ とおくとき $f'(x)$ と $f''(x)$ を求めよ。 (03 東京女大・文理)

2.15 (1) $\int \frac{dx}{1-x}$ を求めよ。

(2) $0 \leq x \leq \frac{1}{2}$ のとき、不等式 $1+x \leq \frac{1}{1-x} \leq 1+2x$ が成り立つことを示せ。

(3) 定積分を利用して、 $\frac{5}{8} \leq \log 2 \leq \frac{3}{4}$ であることを示せ。 (04 愛知教大)

2.16 (1) $\sum_{n=1}^{100} \frac{1}{n} < \frac{3}{2} + \int_2^{100} \frac{1}{x} dx$ を示せ。

(2) $\sum_{n=1}^{100} \frac{1}{n}$ の小数点以下を四捨五入して得られる整数を求めよ。ただし、必要ならば $\log 2, \log 5$ の近似値として、それぞれ 0.693, 1.609 を用いよ。 (04 琉球大・理系)

2.17 $x$ を実数、 $n$ を自然数とする。次の問に答えよ。

(1) $1-x^2+x^4-x^6+\dots+(-1)^{n-1}x^{2n-2}$ の和を求めよ。

(2) $S_n = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \dots + (-1)^{n-1} \frac{1}{2n-1}$ とする。このとき、等式

$S_n = \int_0^1 \frac{1}{1+x^2} dx - (-1)^n \int_0^1 \frac{x^{2n}}{1+x^2} dx$

が成り立つことを示せ。

(3) 定積分 $\int_0^1 \frac{1}{1+x^2} dx$ を求めよ。

(4) 次の不等式を示せ。

$0 \leq \int_0^1 \frac{x^{2n}}{1+x^2} dx \leq \frac{1}{2n+1}$

(5) $\lim_{n \rightarrow \infty} S_n$ を求めよ。

(05 静岡大・理, 情, 工-後)