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数と式 プレテスト

目安時間：40分ぐらい？

答えは下の方にあります。

解答欄は用意していません。

1.次の式を因数分解せよ。

(1)2x2+3xy−2y2−3x−y+12x^2+3xy-2y^2-3x-y+12x2+3xy−2y2−3x−y+1

(2)xy(x−y)+yz(y−z)+zx(z−x)xy(x-y)+yz(y-z)+zx(z-x)xy(x−y)+yz(y−z)+zx(z−x)

(3)x2−6xy+9y2−25z2x^2-6xy+9y^2-25z^2x2−6xy+9y2−25z2

(4)x4+3x2+4x^4+3x^2+4x4+3x2+4



2.次の式の二重根号を外して簡単にせよ。

(1)7+43\sqrt{7+4\sqrt{3}}7+43​​

(2)6−35\sqrt{6-\sqrt{35}}6−35​​



3.次の不等式の解を求めよ。

(1)2x+1＜x+4≦3x+62x+1＜x+4≦3x+62x+1＜x+4≦3x+6

(2)∣2x+4∣+x＜2\vert2x+4\vert+x＜2∣2x+4∣+x＜2

(3)6≦∣x−1∣+∣x−3∣≦106≦\vert x-1\vert+\vert x-3\vert≦106≦∣x−1∣+∣x−3∣≦10



4.次の問に答えよ。

(1)x+y=2,x2+y2=−2x+y=2 ,x^2+y^2=-2x+y=2,x2+y2=−2のとき、xy,x3+y3,x5+y5xy,x^3+y^3,x^5+y^5xy,x3+y3,x5+y5の値を求めよ。

(2)6+42\sqrt{6+4\sqrt{2}}6+42​​の小数部分をxxxとする。このとき、x2+1x2,x4+1x4x^2+\frac{1}{x^2},x^4+\frac{1}{x^4}x2+x21​,x4+x41​の値を求めよ。

(3)a+b+c=1,a2+b2+c2=13a+b+c=1,a^2+b^2+c^2=13a+b+c=1,a2+b2+c2=13のとき、ab+bc+ca,(a−b)2+(b−c)2+(c−a)2ab+bc+ca,(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2ab+bc+ca,(a−b)2+(b−c)2+(c−a)2の値を求めよ。









































1.(1)2x2+(3y−3)x−(2y2+y−1)2x^2+(3y-3)x-(2y^2+y-1)2x2+(3y−3)x−(2y2+y−1)

=2x2+(3y−3)x−(2y−1)(y+1)=2x^2+(3y-3)x-(2y-1)(y+1)=2x2+(3y−3)x−(2y−1)(y+1)

=(2x−y−1)(x+2y−1)=\large (2x-y-1)(x+2y-1)=(2x−y−1)(x+2y−1)

(2)(y−z)x2−(y2−z2)x+yz(y−z)(y-z)x^2-(y^2-z^2)x+yz(y-z)(y−z)x2−(y2−z2)x+yz(y−z)

=(y−z)x2−(y+z)x+yz=(y-z){x^2-(y+z)x+yz}=(y−z)x2−(y+z)x+yz

=(y−z)(x−y)(x−z)=(y-z)(x-y)(x-z)=(y−z)(x−y)(x−z)

=−(x−y)(y−z)(z−x)=\large -(x-y)(y-z)(z-x)=−(x−y)(y−z)(z−x)

(3)(x−3y)2−(5z)2(x-3y)^2-(5z)^2(x−3y)2−(5z)2

=(x−3y+5z)(x−3y−5z)=\large (x-3y+5z)(x-3y-5z)=(x−3y+5z)(x−3y−5z)

(4)(x2+2)2−x2(x^2+2)^2-x^2 (x2+2)2−x2

=(x2+x+2)(x2−x+2)=\large (x^2+x+2)(x^2-x+2)=(x2+x+2)(x2−x+2)



2.(1)7+212\sqrt{7+2\sqrt12}7+21​2​

=(4+3)2=\sqrt{(\sqrt{4}+\sqrt{3})^2}=(4​+3​)2​

=4+3=\sqrt{4}+\sqrt{3}=4​+3​

=2+3=\large 2+\sqrt{3}=2+3​

(2)12−2352\sqrt{\frac{12-2\sqrt{35}}{2}}212−235​​​

=(7−5)22=\sqrt{\frac{(\sqrt{7}-\sqrt{5})^2}{2}}=2(7​−5​)2​​

=7−52=\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{2}}=2​7​−5​​

=14−102=\large \frac{\sqrt{14}-\sqrt{10}}{2}=214​−10​​



3.(1)2x+1＜x+4…①2x+1＜x+4…①2x+1＜x+4…①

x+4≦3x+6…②x+4≦3x+6…②x+4≦3x+6…②

①より、x＜3…①′x＜3…①'x＜3…①′

②より、x≧−1…②′x≧-1…②'x≧−1…②′

①'かつ②'より、−1≦x＜3\large -1≦x＜3−1≦x＜3



(2)(I)x≧−2x≧-2x≧−2のとき

2x+4+x＜22x+4+x＜22x+4+x＜2

x＜−23x＜-\frac{2}{3}x＜−32​

x≧−2x≧-2x≧−2より、−2≦x＜−23-2≦x＜-\frac{2}{3}−2≦x＜−32​

(Ⅱ)x＜−2x＜-2x＜−2のとき

−(2x+4)+x＜2-(2x+4)+x＜2−(2x+4)+x＜2

−x＜6-x＜6−x＜6

x＞−6x＞-6x＞−6

x＜−2x＜-2x＜−2より、−6＜x＜−2-6＜x＜-2−6＜x＜−2

したがって、(I)、(Ⅱ)より、

−6＜x＜−23\large -6＜x＜-\frac{2}{3}−6＜x＜−32​



(3)(I)x＞3x＞3x＞3のとき

6≦x−1+x−3≦106≦x-1+x-3≦106≦x−1+x−3≦10

6≦2x−4≦106≦2x-4≦106≦2x−4≦10

10≦2x≦1410≦2x≦1410≦2x≦14

5≦x≦75≦x≦75≦x≦7

(Ⅱ)1≦x≦31≦x≦31≦x≦3のとき

6≦x−1−(x−3)≦106≦x-1-(x-3)≦106≦x−1−(x−3)≦10

6≦2≦106≦2≦106≦2≦10より、解なし。

(Ⅲ)x＜1x＜1x＜1のとき

6≦−(x−1)−(x−3)≦106≦-(x-1)-(x-3)≦106≦−(x−1)−(x−3)≦10

6≦−2x+4≦106≦-2x+4≦106≦−2x+4≦10

2≦−2x≦62≦-2x≦62≦−2x≦6

−3≦x≦−1-3≦x≦-1−3≦x≦−1

したがって、(Ⅰ),(Ⅱ),(Ⅲ)より、

−3≦x≦−1,5≦x≦7\large -3≦x≦-1,5≦x≦7−3≦x≦−1,5≦x≦7



4.(1)x2+y2=(x+y)2−2xy=−2x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=-2x2+y2=(x+y)2−2xy=−2

x+y=2x+y=2x+y=2より、

22−2xy=−22^2-2xy=-222−2xy=−2

xy=3\large xy=3xy=3

x3+y3=(x+y)3−3xy(x+y)x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)x3+y3=(x+y)3−3xy(x+y)

=23−3･3･2=2^3-3･3･2=23−3･3･2

x3+y3=−10\large x^3+y^3=-10x3+y3=−10

x5+y5x^5+y^5x5+y5

=(x2+y2)(x3+y3)=(x^2+y^2)(x^3+y^3)=(x2+y2)(x3+y3)

−x2y2(x+y)-x^2y^2(x+y)−x2y2(x+y)

=−2･(−10)−32･2=-2･(-10)-3^2･2=−2･(−10)−32･2

x5+y5=2\large x^5+y^5=2x5+y5=2

(2)6+28=4+2\sqrt{6+2\sqrt{8}}=\sqrt{4}+\sqrt{2}6+28​​=4​+2​

=2+2=2+\sqrt{2}=2+2​より、

12＜(2)2＜221^2＜(\sqrt{2})^2＜2^212＜(2​)2＜22であるから、

3＜2+2＜43＜2+\sqrt{2}＜43＜2+2​＜4

よって、x=2+2−3=−1+2x=2+\sqrt{2}-3=-1+\sqrt{2}x=2+2​−3=−1+2​

x+1x=2−1+12−1x+\frac{1}{x}=\sqrt{2}-1+\frac{1}{\sqrt{2}-1}x+x1​=2​−1+2​−11​

=2−1+2+1=\sqrt{2}-1+\sqrt{2}+1=2​−1+2​+1

=22=2\sqrt{2}=22​より、

x2+1x2=(x+1x)2−2x^2+\frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})^2-2x2+x21​=(x+x1​)2−2

=(22)2−2=6=(2\sqrt{2})^2-2=\large 6=(22​)2−2=6

x4+1x4=(x2+1x2)2−2x^4+\frac{1}{x^4}=(x^2+\frac{1}{x^2})^2-2x4+x41​=(x2+x21​)2−2

=62−2=34=6^2-2=\large 34=62−2=34

(3) a2+b2+c2=(a+b+c)2a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2a2+b2+c2=(a+b+c)2

−2(ab+bc+ca)-2(ab+bc+ca)−2(ab+bc+ca)

=12−2(ab+bc+ca)=1^2-2(ab+bc+ca)=12−2(ab+bc+ca)

=13=13=13より、

ab+bc+ca=−6ab+bc+ca=\large -6ab+bc+ca=−6

また、(a−b)2+(b−c)2+(c−a)2(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2(a−b)2+(b−c)2+(c−a)2

=2(a2+b2+c2)=2(a^2+b^2+c^2)=2(a2+b2+c2)

−2(ab+bc+ca)-2(ab+bc+ca)−2(ab+bc+ca)

=2･13−2･(−6)=2･13-2･(-6)=2･13−2･(−6)

=38=38=38

※回答内容が保存され、問題作成者が閲覧できます